ΓΡΑΦΟΥΝ ΤΑ ΠΙΘΗΚΑΚΙΑ ΣΑΙΞΠΗΡ ;‏

Βάλτε ένα πιθηκάκι μπροστά από έναν υπολογιστή κι αυτό θα σας πληκτρολογήσει όλα τα έργα του Σαίξπηρ. Για την ακρίβεια θα σας γράψει όποιο κείμενο μπορείτε να φανταστείτε, οσοδήποτε γνωστό ή άγνωστο είναι. Το μόνο που θα χρειαστεί από μέρους σας είναι να δείξετε υπομονή. Άπειρη.


Όσο απίστευτο και αν ακούγεται, αποδεικνύεται αυστηρά –και μάλιστα με χρήση σχετικά απλών μαθηματικών–, ότι ένα πιθηκάκι μπορεί να πληκτρολογήσει ολόσωστα ένα οποιοδήποτε κείμενο. Το Θεώρημα της Άπειρης Μαϊμούς (The Infinite Monkey Theorem), όπως χαριτωμένα ονομάζεται, διασφαλίζει ότι ένας πίθηκος που χτυπάει στην τύχη ένα πληκτρολόγιο κάποια στιγμή θα γράψει τα Ομηρικά Έπη, έναν οδηγό για τη δημιουργία undetectable backdoors, το άρθρο που τώρα διαβάζετε, την περιγραφή του πυθαγόρειου θεωρήματος, τα έργα του Σαίξπηρ ή όποιο άλλο κείμενο φανταστείτε, ασχέτως μεγέθους ή πνευματικής αξίας. Το μόνο που χρειάζεται ο πίθηκος είναι άπειρος χρόνος. Μια παραλλαγή του Θεωρήματος αναφέρεται σε άπειρους πιθήκους που πληκτρολογούν για άπειρο χρόνο, ωστόσο αποδεικνύεται ότι η διπλή αυτή απειρία είναι περιττή: Ένας μόνο πίθηκος είναι αρκετός, μάλιστα θα παράγει οποιοδήποτε δοσμένο κείμενο, άπειρες φορές. Βεβαίως, ο αθάνατος αυτός πίθηκος μεταξύ των κειμένων με νόημα θα πληκτρολογεί κι ένα σωρό ασυναρτησίες, αλλά το γεγονός αυτό είναι μάλλον αναμενόμενο.

Χωρίς τα πιθηκάκια
Το Θεώρημα της Άπειρης Μαϊμούς διατυπώνεται ακριβέστερα με όρους της θεωρητικής πληροφορικής και των μαθηματικών πιθανοτήτων, χωρίς να απαιτείται η εμπλοκή των συμπαθών ζώων. Το μόνο που χρειάζεται είναι ένα πεπερασμένο σύνολο συμβόλων που ονομάζεται αλφάβητο κι ένας μηχανισμός τυχαίας επιλογής συμβόλων. Για παράδειγμα, αν το αλφάβητό μας περιλαμβάνει 24 σύμβολα (τα γράμματα), τότε η πιθανότητα να επιλέξουμε ένα οποιοδήποτε από αυτά είναι 1/24. Σημειώστε ότι η μαθηματική πιθανότητα είναι ένας αριθμός ανάμεσα στο 0 και στο 1, όπου το 0 αντιστοιχεί στο αδύνατο γεγονός και το 1 στο βέβαιο γεγονός. Επιστρέφοντας στο προκείμενο, η αυστηρή διατύπωση του θεωρήματος της άπειρης μαϊμούς ξεκινά ορίζοντας μια άπειρη ακολουθία συμβόλων, τα οποία έχουν επιλεγεί τυχαία από ένα δοσμένο αλφάβητο. Τότε, η μαθηματική πιθανότητα για μια οποιαδήποτε πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων (από το ίδιο αλφάβητο) να αποτελεί τμήμα, δηλαδή υποσύνολο, της αρχικής άπειρης ακολουθίας, είναι ακριβώς 1.

Πώς είναι δυνατόν;
Ένας άνθρωπος με σχετικά προχωρημένη μαθηματική παιδεία κατανοεί γρήγορα κι εύκολα την αναλυτική απόδειξη του θεωρήματος. Μπορούμε ωστόσο να βεβαιωθούμε και διαισθητικά για την εγκυρότητά του, εφαρμόζοντας λίγη μόνο απλή αριθμητική κι ένα έξυπνο τέχνασμα. Ας υποθέσουμε ότι μία γραφομηχανή έχει 25 πλήκτρα που αντιστοιχούν στα κεφαλαία γράμματα του ελληνικού αλφάβητου και στο κενό. Υποθέτουμε επίσης ότι τα σημεία στίξης ή τα τονισμένα φωνήεντα δεν μας ενδιαφέρουν. (Σε διαφορετική περίπτωση θα ξεκινούσαμε από μια γραφομηχανή με περισσότερα πλήκτρα, δηλαδή από ένα ευρύτερο αλφάβητο, η ουσία ωστόσο της συλλογιστικής μας θα παρέμενε αναλλοίωτη.)

Τώρα, είναι προφανές ότι όταν δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα, τότε η πιθανότητα πραγματοποίησης του ενός καθόλου δεν επηρεάζει ή επηρεάζεται από την πιθανότητα πραγματοποίησης του άλλου. Μιλώντας με μαθηματικούς όρους, η προηγούμενη παρατήρηση σημαίνει ότι αν η πιθανότητα του πρώτου γεγονότος είναι p και η πιθανότητα του άλλου είναι q (τα p, q είναι αριθμοί ανάμεσα στο 0 και στο 1), τότε αν πρόκειται για ανεξάρτητα γεγονότα η πιθανότητα ταυτόχρονης πραγματοποίησης και των δύο είναι p‧q. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να επισκεφτούν μέσα στις επόμενες 30 μέρες εξωγήινοι τον πλανήτη μας είναι 1/100000 (!), καθώς κι ότι η πιθανότητα να έχουμε δυνατή χιονοθύελλα το ίδιο χρονικό διάστημα στη Θεσσαλονίκη είναι 1/40. Με εξαίρεση ίσως τους αμετανόητους οπαδούς των θεωριών συνωμοσίας, όλοι οι υπόλοιποι μπορούμε να συμφωνήσουμε ότι τα δύο αυτά γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Έτσι, η πιθανότητα μέσα στις επόμενες 30 μέρες να έχουμε χιόνια στη Θεσσαλονίκη και ταυτόχρονα πρώτη επαφή με εξωγήινους, είναι (1/100000)‧(1/40) = 1/4000000.

Τρέχοντας προς το άπειρο
Στρέφοντας την προσοχή μας ξανά στη γραφομηχανή με τα 25 πλήκτρα, ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να γράψει ένας πίθηκος τη λέξη ΜΠΑΝΑΝΑ, πατώντας επτά πλήκτρα στη σειρά. Επειδή το πιθηκάκι μας πληκτρολογεί εντελώς τυχαία, η πιθανότητα να χτυπήσει ένα οποιοδήποτε πλήκτρο ανά πάσα στιγμή είναι 1/25. Επιπρόσθετα, επειδή δεν ξέρει τι κάνει, η πιθανότητα παραμένει ίδια για οποιοδήποτε γράμμα της λέξης ΜΠΑΝΑΝΑ. Κοντολογίς, κάθε πάτημα ενός πλήκτρου (γεγονός) είναι ανεξάρτητο από το πάτημα ενός οποιουδήποτε άλλου πλήκτρου — έχουμε να κάνουμε με ανεξάρτητα γεγονότα! Έτσι, εύκολα υπολογίζουμε ότι η πιθανότητα εμφάνισης της λέξης ΜΠΑΝΑΝΑ με επτά διαδοχικά πατήματα πλήκτρων είναι (1/25)‧(1/25)‧(1/25)‧(1/25)‧(1/25)‧(1/25)‧(1/25) = (1/25)^7 = 1/6103515625, δηλαδή εξαιρετικά μικρή αλλά *όχι* 0! Παρεμπιπτόντως, η πιθανότητα να μην εμφανιστεί η λέξη ΜΠΑΝΑΝΑ με επτά διαδοχικά χτυπήματα πλήκτρων είναι ακριβώς 1-(1/6103515625), δηλαδή εξαιρετικά κοντά στο 1. Με άλλα λόγια, η αποτυχία είναι σχεδόν βέβαιη αλλά *όχι* σίγουρη.

Αν στη θέση ΜΠΑΝΑΝΑ βάλουμε ολόκληρο τον Οθέλο του Σαίξπηρ, καταλαβαίνουμε ότι η πιθανότητα να τον πληκτρολογήσει ολόσωστα ο πίθηκός μας με διαδοχικά πατήματα πλήκτρων είναι απειροελάχιστα κοντά στο 0. Αντίστροφα, η πιθανότητα να μην τον πληκτρολογήσει σωστά με διαδοχικά πατήματα πλήκτρων, είναι απειροελάχιστα κοντά στο 1. Είναι δηλαδή σχεδόν βέβαιο ότι δεν θα τα καταφέρει, όχι όμως και σίγουρο! Ας δεχτούμε τώρα ότι ο πίθηκος ξεκινά να πληκτρολογεί μανιωδώς και δεν σταματά ποτέ. Η πιθανότητα να μη διαβάσουμε τον Οθέλο ξεκινώντας από το πρώτο γράμμα του κειμένου είναι απειροελάχιστα κοντά στη μονάδα. Χάριν ευκολίας αναφοράς, συμβολίζουμε αυτή την πιθανότητα με q. Υπενθυμίζοντας ότι ο πίθηκος πληκτρολογεί τυχαία, βλέπουμε ότι η πιθανότητα μη εμφάνισης του Οθέλου στο επόμενο κομμάτι κειμένου, όπου κάθε κομμάτι αποτελείται από τον ίδιο αριθμό γραμμάτων που έχει ο πραγματικός Οθέλος, είναι ανεξάρτητη από την εμφάνιση ή όχι του Οθέλου στο προηγούμενο κομμάτι, άρα είναι επίσης q. Προφανώς, από τη στιγμή που έχουμε να κάνουμε με ανεξάρτητα γεγονότα, η πιθανότητα μη εμφάνισης σε κανένα από τα δύο πρώτα κομμάτια είναι q^2. Προσέξτε στο σημείο αυτό την εξής ύπουλη λεπτομέρεια: Επειδή το q είναι ένας αριθμός μικρότερος της μονάδας, το γινόμενο με τον εαυτό του δίνει έναν αριθμό μικρότερο του q. Μόλις διαπιστώσαμε, λοιπόν, ότι η πιθανότητα μη εμφάνισης του Οθέλου σε κανένα από τα δύο πρώτα διαδοχικά κομμάτια του κειμένου, είναι μικρότερη από την πιθανότητα μη εμφάνισης σε καθένα από αυτά ξεχωριστά. Επειδή το κείμενό μας έχει άπειρο μήκος, μπορούμε να συνεχίσουμε την ίδια συλλογιστική για όσο θέλουμε. Σε κάθε βήμα θα διαπιστώνουμε ότι η πιθανότητα μη εμφάνισης του Οθέλου σε κανένα από τα πρώτα διαδοχικά κομμάτια, μικραίνει διαρκώς! Οποιαδήποτε στιγμή, εάν το πλήθος των κομματιών αυτών είναι n, τότε η πιθανότητα μη εμφάνισης σε κανένα από αυτά είναι q^n και εύκολα βλέπουμε ότι πλησιάζει διαρκώς και αμείλικτα προς το 0! Συνεχίζοντας αδιάκοπα, η πιθανότητα μη εμφάνισης ισούται με τον υπολογισμό του μαθηματικού ορίου q^n, όταν το n τείνει στο άπειρο. Όμως το όριο αυτό είναι 0! Αφού λοιπόν η πιθανότητα *μη* εμφάνισης του Οθέλου σε κανένα κομμάτι του κειμένου είναι 0, η πιθανότητα εμφάνισής του σε τουλάχιστον ένα κομμάτι είναι 1!

Πειραματική επαλήθευση
Ομάδα ερευνητών του Πανεπιστημίου του Πλίμουθ, επιχείρησε να επαληθεύσει πειραματικά το Θεώρημα της Άπειρης Μαϊμούς. Οι επιστήμονες εγκατέστησαν έναν υπολογιστή μέσα σε έναν περίβολο με έξι μαϊμούδες και κατόπιν περίμεναν να δουν τι θα συμβεί. Μετά από ένα μήνα ο υπολογιστής ήταν σε κακό χάλι, αφού σχεδόν από την αρχή μία από τις μαϊμούδες άρχισε να τον χτυπά με μία πέτρα. Άλλες άρχισαν να πατούν διάφορα πλήκτρα, χωρίς όμως να καταφέρουν να παράγουν ούτε μία λέξη με νόημα. Πληκτρολόγησαν πάντως γύρω στις πέντε σελίδες με κείμενο, αποτελούμενο κυρίως από το γράμμα S και σε μικρότερο ποσοστό από τα A, J, L και M. Φυσικά, το όλο πρότζεκτ δεν φιλοδοξούσε να διερευνήσει στα σοβαρά το προκλητικό θεώρημα. Στην πραγματικότητα χρηματοδοτήθηκε στα πλαίσια ενός προγράμματος εγκατάστασης υπολογιστών σε ζωολογικούς κήπους της Ευρώπης, με σκοπό να μελετηθούν οι διαφορές μεταξύ της Τεχνητής Ζωής (AL, artificial life) και της συμπεριφοράς των ζώων.
Στην ιστοσελίδα www.vivaria.net/experiments/notes/publication φιλοξενείται το κείμενο που πληκτρολόγησαν οι έξι μαϊμούδες.
Ανεμοστρόβιλοι που φτιάχνουν αεροπλάνα;!
Η ιδέα ότι αν δοθούν σε ένα πιθηκάκι μια γραφομηχανή κι απεριόριστος χρόνος, τελικά αυτό θα γράψει λογοτεχνία, συχνά αποδίδεται στον Τόμας Χάξλεϊ. Πρόκειται για έναν επιστήμονα του 19ου αιώνα που συγκαταλέγεται στους πρώτους ένθερμους υποστηρικτές της Θεωρίας Εξέλιξης του Δαρβίνου. Η εξελικτική θεωρία υποστηρίζει ότι οι οργανισμοί προέρχονται από τυχαίες μεταλλάξεις γενετικού υλικού. Οι Δημιουργιστές (Creationists), πολέμιοι της δαρβινικής θεωρίας, ισχυρίζονται ότι η πιθανότητα να προκύψει ένας μόνο ζωντανός οργανισμός από τυχαίες μεταλλάξεις γενετικού υλικού, είναι περίπου ίση με την πιθανότητα να γράψει ένα πιθηκάκι Σαίξπηρ, πατώντας πλήκτρα στην τύχη.

Άλλες φορές χρησιμοποιούν το παράδειγμα ενός ανεμοστρόβιλου, ο οποίος μαίνεται μέσα σε μια μάντρα που περιλαμβάνει όλα τα εξαρτήματα ενός αεροπλάνου, σκόρπια εδώ κι εκεί. Ακόμα και με δεδομένο απεριόριστο χρόνο, η πιθανότητα να συναρμολογηθεί ξαφνικά ένα αεροπλάνο είναι πρακτικά μηδέν.

Το λάθος των Δημιουργιστών, σύμφωνα με τους Δαρβινιστές, είναι ότι δεν λαμβάνουν καθόλου υπόψη τις διαφορετικές δυνατότητες «επιβίωσης» που έχουν διαφορετικές διαμορφώσεις βασικών συστατικών μερών ή δομικών λίθων. Επίσης, δείχνουν να αγνοούν το γεγονός ότι η δημιουργία ενός οργανισμού, ενός αεροπλάνου ή ενός λογοτεχνικού έργου, είναι διαδικασία εξελικτική ή αρθρωτή. Αναλυτικότερα, εάν μία διαμόρφωση γενετικού υλικού είναι βιώσιμη, τότε διατηρείται και γύρω της δημιουργείται ένας πιο πολύπλοκος οργανισμός. Όμοια, όταν κατασκευαστεί η άτρακτος ενός αεροπλάνου δεν αποσυναρμολογείται αλλά πάνω της προσαρμόζονται άλλα μέρη του όλου κατασκευάσματος. Τέλος, μία λέξη, μία παράγραφος, μία ενότητα ή ένα κεφάλαιο ενός κειμένου με την ορθογραφία, συντακτικό και νόημα, δεν διαγράφεται αλλά χρησιμοποιείται για τη συνέχιση του κειμένου. Σε αντίθεση με τις εξελικτικές διαδικασίες της φύσης ή με τις πρακτικές της ανθρώπινης δημιουργικότητας, μια γεννήτρια τυχαίων συμβόλων ή ένα πιθηκάκι που πατάει πλήκτρα στην τύχη, ποτέ δεν θα είναι σε θέση να «γνωρίζει» ότι μια λέξη ή φράση έχει ένα κάποιο «νόημα», ώστε να την κρατήσει και να συνεχίσει εξελικτικά.

Όμοια κι ο ανεμοστρόβιλος, μέσα σε εκείνη τη μάντρα.

Προβληματική τάξη
Η αυθόρμητη εμφάνιση ενός μοτίβου με νόημα, όπως είναι ένα γνωστό κείμενο, μέσα σε μια θάλασσα τυχαίων γραμμάτων ενός αλφαβήτου, δεν αποτελεί μόνο μια προκλητική υπόθεση για τον κοινό νου. Επιπρόσθετα, προκαλεί σοβαρές διαφωνίες ανάμεσα σε μαθηματικούς με κάπως ιδιαίτερες φιλοσοφικές ανησυχίες. Την όλη αναταραχή προκαλεί μια μικρή μερίδα μαθηματικών, οι λεγόμενοι κονστρουκτιβιστές (constructivists), οι οποίοι απορρίπτουν τη βασική για τα μαθηματικά έννοια του απείρου. Από τις θεμελιώδεις μαθηματικές οντότητες, οι κονστρουκτιβιστές δέχονται μόνο τις πεπερασμένες κι από εκεί και πέρα ισχυρίζονται ότι τα μόνα μαθηματικά αντικείμενα με νόημα είναι εκείνα που «κατασκευάζονται» εφαρμόζοντας έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Αντίθετα, οι πιστοί του πλατωνισμού και του φορμαλισμού –πρόκειται για τις δύο μεγάλες θρησκείες των μαθηματικών–, αγκαλιάζουν χωρίς κανέναν δισταγμό το άπειρο, αποδεικνύοντας μάλιστα ότι υπάρχουν διαφορετικά είδη απείρου!

Προκειμένου να καταδείξουν οι κονστρουκτιβιστές την ισχύ της θέσης τους, επιτίθενται σε έναν «αυτονόητο» νόμο των μαθηματικών: αυτόν την τριχοτομίας. Τον συγκεκριμένο νόμο τον γνωρίζουμε καλά όλοι μας από το γυμνάσιο και είναι αυτός που λέει ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι είτε μικρότερος από το μηδέν, είτε ίσος με το μηδέν είτε μεγαλύτερος από το μηδέν. Όπως όλες ανεξαιρέτως οι προτάσεις των μαθηματικών, έτσι και η προηγούμενη αποδεικνύεται αυστηρά, σίγουρα όμως δεν χρειάζεται να μπούμε σε λεπτομέρειες για να πιστέψουμε την ισχύ της.

Άρρητες αναζητήσεις
Διαιρώντας το μήκος της περιφέρειας ενός οποιουδήποτε κύκλου με το μήκος της διαμέτρου του, παίρνουμε πάντοτε τον ίδιο σταθερό αριθμό: πρόκειται για το γνωστό μας π, το οποίο είναι περίπου ίσο με 3,14. Στην πραγματικότητα το π είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι α) δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακεραίων αριθμών, β) έχει άπειρα ψηφία στα δεξιά της υποδιαστολής και γ) όλα αυτά τα ψηφία δεν παρουσιάζουν καμία περιοδικότητα ή έστω κανονικότητα ή μοτίβο, με άλλα λόγια εμφανίζονται εντελώς τυχαία. Το πλήθος των άρρητων είναι άπειρο, ωστόσο οι κονστρουκτιβιστές δεν αναγνωρίζουν την ύπαρξη τέτοιων αλλοπρόσαλλων αριθμών. Προς στιγμήν, όμως, κάνουν μία πονηρή υπόθεση εργασίας.

Αφού λοιπόν το δεκαδικό ανάπτυγμα του π είναι άπειρο και τυχαίο, ισχυρίζονται οι κονστρουκτιβιστές μαθηματικοί, τίποτε δεν μας εμποδίζει να πιστεύουμε ότι κάποια στιγμή το άτακτο χάος των ψηφίων διακόπτεται από ένα διάλειμμα τάξης, π.χ., από μία ακολουθία 100 διαδοχικών μηδενικών. Υπάρχουν προγράμματα σε υπολογιστή που μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε όσα δεκαδικά ψηφία του π θέλουμε. Για την ιστορία, έχουν ήδη υπολογιστεί αρκετά δισεκατομμύρια ψηφία του π. Έως σήμερα κανένας ερευνητής δεν συνάντησε μία ακολουθία 100 διαδοχικών μηδενικών μέσα στο π. Τίποτε όμως δεν μας εμποδίζει να πιστεύουμε ότι μια τέτοια ακολουθία πράγματι υπάρχει, π.χ., αμέσως μετά ή έστω λίγο πιο κάτω από το τελευταίο γνωστό δεκαδικό ψηφίο του π.

Αφού κερδίσουν την προσοχή μας, οι κονστρουκτιβιστές ορίζουν έναν αριθμό π’ (πι τονούμενο) ο οποίος «μοιάζει» αρκετά με το π, υπό την ακόλουθη έννοια. Κατ’ αρχάς, υποθέτουμε ότι η ακολουθία των 100 μηδενικών αρχίζει από τη θέση υπ’ αριθμόν k του δεκαδικού αναπτύγματος του π. Εάν ο k είναι περιττός αριθμός (δηλαδή δεν διαιρείται ακριβώς με το 2), τότε ο π’ είναι ίδιος με το π στα πρώτα k δεκαδικά ψηφία και τελειώνει εκεί (δηλαδή δεν έχει άλλα δεκαδικά ψηφία). Αν πάλι ο k είναι άρτιος (δηλαδή διαιρείται ακριβώς με το 2), τότε ο π’ είναι όπως προηγουμένως με μόνη τη διαφορά ότι τώρα έχει και μια μονάδα αμέσως δεξιότερα της k-οστής θέσης. Τέλος, αν δεν υπάρχει στο δεκαδικό ανάπτυγμα του π μια ακολουθία 100 μηδενικών, τότε ο π’ είναι ίσος με το π.

Ο ορισμός του π’ είναι πέρα για πέρα έγκυρος και μαθηματικά ακριβής. Το γεγονός ότι έως σήμερα έχουμε άγνοια για το αν ο k υπάρχει ή αν είναι άρτιος ή περιττός αριθμός, αφού δεν ξέρουμε ακόμη αν και που εμφανίζεται ακολουθία 100 μηδενικών μέσα στο π, δεν έχει τον παραμικρό αντίκτυπο στον ορισμό του π’. Ας συμβολίσουμε με δ τη διαφορά π’-π. Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι αν το π δεν περιέχει 100 μηδενικά στη σειρά, τότε δ=0. Αν πάλι τα περιέχει, τότε δ<0 ή δ>0, αναλόγως εάν τα 100 αυτά μηδενικά αρχίζουν από περιττή ή άρτια θέση αντίστοιχα. Με άλλα λόγια ο δ είναι ίσος, μικρότερος ή μεγαλύτερος του μηδενός, κάτι που ούτως ή άλλως διασφαλίζει το θεώρημα της τριχοτομίας. Με δεδομένο ότι υπάρχει ακριβώς μία δυνατότητα για το δ, τελικά ποια είναι σχέση του με το μηδέν; Προς το παρόν δεν έχουμε ιδέα και μόνος τρόπος για να μάθουμε είναι να συνεχίσουμε το ψάξιμο στα δεκαδικά ψηφία του π, όσον καιρό κι αν μας πάρει. Αλλά ακόμη κι αν κάποια στιγμή βρούμε μια ακολουθία από 100 συνεχόμενα μηδενικά μέσα στο π, οι κονστρουκτιβιστές θα επανέλθουν προκαλώντας μας να βρούμε 1000, 10000, 100000 ή 1000000 διαδοχικά μηδενικά. 
Σύμφωνα με τη συλλογιστική τους, ποτέ δεν θα μπορούμε να δώσουμε τελεσίδικη απάντηση για έναν απλούστατο (στον ορισμό) αριθμό σαν το δ, αφού ο ίδιος ο ορισμός του είναι εν γένει προβληματικός! Κι αυτό συμβαίνει ακριβώς επειδή η έννοια του απείρου είναι προβληματική. Κοντολογίς, οι κονστρουκτιβιστές ισχυρίζονται ότι η λογική των μαθηματικών που διδασκόμαστε στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο, είναι πέρα για πέρα διάτρητη! Δεν έχει λοιπόν νόημα να λέμε ότι ένα πιθηκάκι θα γράψει κάποια στιγμή Σαίξπηρ, με μοναδική προϋπόθεση να του δώσουμε άπειρο χρόνο. Ομοίως και για μία ταχύτατη γεννήτρια τυχαίων γραμμάτων, που δεν πρόκειται να παρουσιάσει ποτέ το παραμικρό μηχανικό πρόβλημα…

http://deltahacker.gr/2012/10/09/infinite-monkey/

    Blogger Comment
    Facebook Comment

0 blogger-facebook:

Δημοσίευση σχολίου